Власні вектори та власні числа матриці

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють уміння знаходити власні числа (власні значення) та власні вектори квадратної матриці. Це базове поняття лінійної алгебри, яке використовують у стисненні даних, графіці, пошукових алгоритмах (наприклад, PageRank) і машинному навчанні. Ключове поняття: рівність A·v = λ·v.

📖 Головне

• Власний вектор v — це ненульовий вектор, який під дією матриці A лише розтягується/стискається, не змінюючи напрямку: A·v = λ·v.

• Власне число λ (лямбда) — коефіцієнт цього розтягу. Може бути додатним, відʼємним, нулем або комплексним.

• Шукають власні числа лише для квадратної матриці (n×n).

• Основне рівняння: (A − λ·E)·v = 0, де E — одинична матриця. Щоб був ненульовий розвʼязок, визначник має дорівнювати нулю.

• Характеристичне рівняння: det(A − λ·E) = 0. Його корені — це власні числа.

• Для матриці n×n характеристичне рівняння — многочлен степеня n, тому власних чисел (з урахуванням кратності) рівно n.

• Коли знайшли λ, підставляємо його у (A − λ·E)·v = 0 і розвʼязуємо систему — отримуємо власні вектори для цього λ.

• Власний вектор визначено з точністю до множника: якщо v — власний, то і 2v, −v теж власні.

• Сума власних чисел = слід матриці (сума елементів на головній діагоналі). Добуток власних чисел = визначник матриці. Це швидка перевірка.

🔢 Як це працює на прикладі

Візьмемо матрицю A = [[2, 1], [1, 2]].

Крок 1. A − λ·E = [[2−λ, 1], [1, 2−λ]].

Крок 2. Визначник: (2−λ)(2−λ) − 1·1 = λ² − 4λ + 3 = 0.

Крок 3. Корені: λ = (4 ± √(16−12))/2 = (4 ± 2)/2 → λ₁ = 3, λ₂ = 1.

Перевірка: сума 3+1 = 4 = слід (2+2) ✓; добуток 3·1 = 3 = det (4−1) ✓.

Крок 4. Для λ₁ = 3: (A − 3E)·v = 0 → [[−1, 1], [1, −1]]·v = 0 → −x + y = 0 → y = x. Власний вектор v₁ = (1, 1).

Крок 5. Для λ₂ = 1: [[1, 1], [1, 1]]·v = 0 → x + y = 0 → y = −x. Власний вектор v₂ = (1, −1).

⚠️ Типові помилки

• Плутають: власне число — це скаляр λ, власний вектор — це вектор v. Це різні обʼєкти.

• Забувають віднімати λ лише від діагоналі (A − λ·E), а не від усіх елементів.

• Вважають нульовий вектор власним — за означенням v ≠ 0 (хоча λ може бути 0).

• Неправильно розкривають визначник 2×2: головна діагональ мінус побічна.

• Шукають власні числа для неквадратної матриці — так не можна.

🎯 Що завчити напамʼять

• A·v = λ·v — означення.

• det(A − λ·E) = 0 — характеристичне рівняння.

• Визначник 2×2: ad − bc.

• Сума власних чисел = слід; добуток = визначник (для перевірки).

• Власний вектор ≠ 0, визначений з точністю до множника.

🧠 Перевір себе

1. Що таке власне число матриці?

2. Яке рівняння дає всі власні числа?

3. Чому дорівнює сума власних чисел матриці?

4. Для матриці [[3,0],[0,5]] назви власні числа.

Відповіді: 1 — коефіцієнт λ, на який множиться власний вектор у рівності A·v = λ·v; 2 — характеристичне: det(A − λ·E) = 0; 3 — сліду матриці (сумі діагональних елементів); 4 — λ₁ = 3, λ₂ = 5 (у діагональної матриці власні числа стоять на діагоналі).