Матриці, дії з матрицями, визначники, обернена матриця

📌 Про що ця тема

Матриця — це прямокутна таблиця чисел, з якою виконують арифметичні дії за спеціальними правилами. На іспиті перевіряють уміння додавати й множити матриці, обчислювати визначник і знаходити обернену матрицю. Ключові поняття: розмір матриці, визначник (детермінант), обернена матриця.

📖 Головне

• Матриця розміру m×n має m рядків і n стовпців. Елемент aᵢⱼ стоїть у рядку i та стовпці j.

• Квадратна матриця має однакову кількість рядків і стовпців (n×n).

• Додавати/віднімати можна лише матриці ОДНАКОВОГО розміру: складають відповідні елементи (cᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ).

• Множення на число k: кожен елемент множиться на k.

• Множення матриць A·B можливе, лише якщо число стовпців A = числу рядків B. Результат має розмір (рядки A)×(стовпці B).

• Правило множення: елемент cᵢⱼ = сума добутків елементів i-го рядка A на j-й стовпець B.

• Множення матриць НЕ комутативне: A·B ≠ B·A у загальному випадку.

• Одинична матриця E має одиниці на головній діагоналі, решта нулі; A·E = A.

• Визначник (det A, |A|) визначений ЛИШЕ для квадратної матриці.

• Для 2×2: det = a₁₁·a₂₂ − a₁₂·a₂₁.

• Для 3×3 — правило трикутника (Саррюса): сума трьох добутків «по діагоналях вправо» мінус три добутки «вліво».

• Обернена матриця A⁻¹ існує, лише якщо det A ≠ 0 (матриця невироджена). Виконується A·A⁻¹ = E.

• Для 2×2: A⁻¹ = (1/det A)·[[a₂₂, −a₁₂], [−a₂₁, a₁₁]] — головну діагональ міняють місцями, побічну беруть з мінусом, усе ділять на визначник.

🔢 Як це працює на прикладі

Приклад 1. Множення. A = [[1,2],[3,4]], B = [[5,6],[7,8]].

c₁₁ = 1·5 + 2·7 = 19; c₁₂ = 1·6 + 2·8 = 22;

c₂₁ = 3·5 + 4·7 = 43; c₂₂ = 3·6 + 4·8 = 50.

A·B = [[19,22],[43,50]].

Приклад 2. Визначник і обернена для A = [[1,2],[3,4]].

det A = 1·4 − 2·3 = 4 − 6 = −2 (≠0, обернена існує).

A⁻¹ = (1/−2)·[[4,−2],[−3,1]] = [[−2, 1],[1.5, −0.5]].

Перевірка: A·A⁻¹ = E.

⚠️ Типові помилки

• Намагаються додати матриці різного розміру — так робити не можна.

• Множать поелементно, як при додаванні. Насправді працює «рядок на стовпець».

• Вважають, що A·B = B·A — порядок множників важливий.

• Шукають обернену при det = 0 — її не існує.

• У формулі 2×2 забувають поміняти місцями a₁₁ і a₂₂ або ставлять не ті знаки.

• Плутають рядки зі стовпцями в записі aᵢⱼ.

🎯 Що завчити напамʼять

• Умова множення: стовпці A = рядки B.

• det 2×2 = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁.

• A⁻¹ для 2×2: поміняти діагональ, мінус на побічну, поділити на det.

• Обернена існує ⟺ det ≠ 0.

• A·E = A, A·A⁻¹ = E.

🧠 Перевір себе

1. Який розмір результату, якщо множимо матрицю 2×3 на 3×4?

2. Обчисли det [[2,1],[5,3]].

3. Чи існує обернена для матриці з det = 0?

4. Чи завжди A·B = B·A?

Відповіді: 1 — 2×4; 2 — 2·3 − 1·5 = 1; 3 — ні; 4 — ні, множення не комутативне.