Системи лінійних рівнянь; чисельні методи розвʼязання

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють уміння описати систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), записати її в матричному вигляді та розвʼязати — як точними, так і наближеними (чисельними) методами. Ключове поняття: СЛАР вигляду A·x = b, де A — матриця коефіцієнтів, x — вектор невідомих, b — вектор вільних членів. Такі задачі лежать в основі багатьох інженерних та програмних розрахунків.

📖 Головне

• СЛАР з n невідомими — це n рівнянь першого степеня. Матричний запис: A·x = b, де A має розмір n×n.

• Система може мати: єдиний розвʼязок, безліч розвʼязків або не мати розвʼязків.

• Єдиний розвʼязок існує, коли визначник det(A) ≠ 0 (матриця невироджена).

• Точні (прямі) методи дають відповідь за скінченну кількість дій: метод Крамера, метод Гаусса, матричний метод.

• Метод Крамера: xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), де Aᵢ — матриця A із замінений i-й стовпець на вектор b. Зручний лише для малих систем (2×2, 3×3).

• Метод Гаусса: прямими перетвореннями рядків зводять матрицю до трикутного вигляду, потім зворотним ходом знаходять невідомі. Основний метод для великих систем.

• Матричний метод: x = A⁻¹·b (через обернену матрицю), працює лише при det(A) ≠ 0.

• Чисельні (ітераційні) методи: Якобі та Гаусса-Зейделя — будують послідовність наближень x⁽⁰⁾, x⁽¹⁾, … що збігається до розвʼязку.

• Ітераційні методи корисні для великих розріджених систем; потребують умови збіжності (діагональне переважання матриці).

• Критерій зупинки ітерацій — коли зміна між наближеннями менша за задану точність ε.

🔢 Як це працює на прикладі

Система: 2x + y = 5; x − y = 1.

Матриця A = [[2,1],[1,−1]], b = (5,1).

Крамер: det(A) = 2·(−1) − 1·1 = −3.

det(Ax): замінюємо 1-й стовпець на b → [[5,1],[1,−1]] = 5·(−1) − 1·1 = −6. x = −6/−3 = 2.

det(Ay): [[2,5],[1,1]] = 2·1 − 5·1 = −3. y = −3/−3 = 1.

Відповідь: x = 2, y = 1. Перевірка: 2·2 + 1 = 5 ✓, 2 − 1 = 1 ✓.

Метод Гаусса для тієї ж системи: з другого рівняння виразимо x = 1 + y, підставимо: 2(1+y) + y = 5 → 2 + 3y = 5 → y = 1, звідси x = 2.

⚠️ Типові помилки

• Застосовують Крамера при det(A) = 0 — ділення на нуль; треба спершу перевірити визначник.

• Плутають знаки при обчисленні визначника 2×2: правильно ad − bc, а не ad + bc.

• При методі Гаусса забувають міняти всі елементи рядка (включно з вільним членом).

• Вважають, що ітераційний метод завжди збігається — без діагонального переважання він може розходитися.

• Плутають Aᵢ у Крамері: замінюють рядок замість стовпця або не той стовпець.

🎯 Що завчити напамʼять

• A·x = b — матрична форма СЛАР.

• det(A) ≠ 0 → єдиний розвʼязок.

• Крамер: xᵢ = det(Aᵢ)/det(A).

• Визначник 2×2: ad − bc.

• Матричний метод: x = A⁻¹·b.

• Прямі методи: Крамер, Гаусс, матричний. Ітераційні: Якобі, Гаусса-Зейделя.

🧠 Перевір себе

1. За якої умови СЛАР має єдиний розвʼязок?

2. Чому метод Гаусса кращий за Крамера для великих систем?

3. Чим ітераційні методи відрізняються від прямих?

Відповіді: 1 — коли det(A) ≠ 0 (матриця невироджена); 2 — Крамер вимагає обчислення багатьох визначників (дуже багато операцій), Гаусс значно швидший; 3 — прямі дають точний результат за скінченну кількість кроків, ітераційні будують послідовність наближень до заданої точності ε.