Системи масового обслуговування; типи моделей

📌 Про що ця тема

Система масового обслуговування (СМО) — це модель, яка описує процеси, де є потік вимог (заявок, клієнтів) і один чи кілька пристроїв (каналів), що їх обслуговують. На іспиті перевіряють розуміння будови СМО, вміння розрізняти типи моделей і читати основні характеристики ефективності. Ключове поняття — черга і канал обслуговування.

📖 Головне

• СМО складається з: джерела заявок, вхідного потоку (потоку вимог), черги (накопичувача), каналів обслуговування та вихідного потоку обслужених заявок.

• Вхідний потік — послідовність заявок, що надходять. Часто вважають найпростішим (пуассонівським): заявки приходять незалежно, із середньою інтенсивністю λ (кількість заявок за одиницю часу).

• Інтенсивність обслуговування μ — середня кількість заявок, яку один канал обслуговує за одиницю часу. Середній час обслуговування однієї заявки = 1/μ.

• Коефіцієнт завантаження ρ = λ/μ. Показує, наскільки система навантажена. Для стійкої роботи одноканальної СМО потрібно ρ < 1.

• Класифікація за кількістю каналів: одноканальні (один пристрій) і багатоканальні (n пристроїв, що працюють паралельно).

• Класифікація за чергою: СМО з відмовами (немає черги — якщо канал зайнятий, заявка губиться) і СМО з очікуванням (заявка стає в чергу й чекає).

• Черга буває: з необмеженою довжиною, з обмеженою довжиною (понад ліміт — заявка отримує відмову), з обмеженим часом очікування.

• Дисципліна обслуговування — порядок вибору з черги: FIFO (перший прийшов — перший обслужений), LIFO (останній прийшов — перший обслужений), з пріоритетами.

• Основні показники ефективності: ймовірність відмови, середня довжина черги, середній час очікування, середній час перебування в системі, коефіцієнт зайнятості каналів.

• СМО — приклад імітаційного / стохастичного моделювання: процеси випадкові, тому результат описують у ймовірностях і середніх значеннях.

🔢 Як це працює на прикладі

Каса в магазині обслуговує в середньому μ = 20 клієнтів за годину. Приходить λ = 15 клієнтів за годину.

• Коефіцієнт завантаження: ρ = λ/μ = 15/20 = 0,75. Отже, каса зайнята 75% часу, 25% простоює.

• Оскільки ρ = 0,75 < 1 — система стійка, черга не росте нескінченно.

• Середній час обслуговування одного клієнта: 1/μ = 1/20 год = 3 хвилини.

Якби прийшло λ = 25 клієнтів/год, то ρ = 25/20 = 1,25 > 1 — каса не встигає, черга росте необмежено.

⚠️ Типові помилки

• Плутають λ і μ: λ — це потік, що ПРИХОДИТЬ, μ — скільки система ВСТИГАЄ обслужити.

• Думають, що ρ — це ймовірність; насправді це коефіцієнт завантаження, для одного каналу — частка зайнятого часу.

• Вважають СМО з відмовами і з очікуванням одним і тим самим: у першій заявка губиться, у другій — чекає в черзі.

• Забувають умову стійкості ρ < 1 і «отримують» скінченну чергу там, де вона нескінченна.

• Плутають дисципліни FIFO і LIFO.

🎯 Що завчити напамʼять

• ρ = λ/μ — коефіцієнт завантаження.

• Умова стійкості одноканальної СМО: ρ < 1.

• Середній час обслуговування = 1/μ.

• Два типи за чергою: з відмовами / з очікуванням.

• Дисципліни: FIFO, LIFO, з пріоритетами.

• Елементи СМО: джерело, вхідний потік, черга, канали, вихідний потік.

🧠 Перевір себе

1. Що означає ρ = 0,6?

2. Чим СМО з відмовами відрізняється від СМО з очікуванням?

3. λ = 30, μ = 20. Чи стійка система?

4. Який середній час обслуговування при μ = 12 заявок/год?

Відповіді: 1 — канал зайнятий 60% часу (завантаження 60%); 2 — у першій заявка губиться, якщо канал зайнятий, у другій стає в чергу й чекає; 3 — ні, бо ρ = 30/20 = 1,5 > 1, черга росте необмежено; 4 — 1/12 год = 5 хвилин.