Перевірка статистичних гіпотез (нульова/альтернативна, рівень значущості)

📌 Про що ця тема

Перевірка статистичних гіпотез — це спосіб ухвалити обґрунтоване рішення про властивості сукупності за даними вибірки. На іспиті перевіряють, чи розумієш ти логіку: що таке нульова та альтернативна гіпотези, рівень значущості, помилки двох родів і як правильно трактувати результат. Ключове поняття — рівень значущості α.

📖 Головне

• Нульова гіпотеза H₀ — припущення «нічого немає»: немає відмінності, немає впливу, параметр дорівнює заданому значенню (напр. середнє = 100).

• Альтернативна гіпотеза H₁ — те, що стверджуємо замість H₀: відмінність є, параметр не дорівнює (або більший/менший).

• H₀ і H₁ взаємовиключні й покривають усі варіанти; перевіряємо саме H₀, а H₁ приймаємо, якщо H₀ відхилено.

• Рівень значущості α — допустима ймовірність помилково відхилити правильну H₀. Типові значення: 0,05; 0,01; 0,1. Задається ДО аналізу.

• Критерій (статистика) — число, обчислене з вибірки (напр. z, t, χ²), яке порівнюють із критичним значенням.

• Критична область — значення статистики, за яких H₀ відхиляємо. Якщо статистика потрапила туди — H₀ відхиляємо.

• p-значення (p-value) — ймовірність отримати такий або ще «крайніший» результат, якщо H₀ правдива. Якщо p ≤ α — H₀ відхиляємо; якщо p > α — підстав відхиляти немає.

• Помилка I роду: відхилили правильну H₀ (її ймовірність = α).

• Помилка II роду: не відхилили хибну H₀ (ймовірність = β). Потужність критерію = 1 − β.

• Односторонній тест (H₁: >, або <) чи двосторонній (H₁: ≠) обирають за формулюванням задачі.

🔢 Як це працює на прикладі

Завод заявляє, що середня маса пачки = 500 г. Вибірка з n=36 пачок дала середнє 496 г, σ=12 г. Перевіримо на рівні α=0,05.

Крок 1. H₀: μ = 500; H₁: μ ≠ 500 (двосторонній).

Крок 2. Статистика z = (x̄ − μ)/(σ/√n) = (496 − 500)/(12/6) = −4/2 = −2.

Крок 3. Критичне значення для α=0,05 двостороннього тесту ≈ ±1,96.

Крок 4. |−2| = 2 > 1,96 → статистика в критичній області.

Висновок: H₀ відхиляємо, маса значуще відрізняється від 500 г.

⚠️ Типові помилки

• Думають, що «H₀ не відхилено» = «H₀ доведено». Насправді просто немає достатніх доказів проти неї.

• Плутають α і p: α задають заздалегідь, p обчислюють із даних; порівнюють p з α.

• Обирають α вже після того, як побачили результат — так робити не можна.

• Плутають помилки I та II роду (відхилити правильну vs зберегти хибну).

• Застосовують односторонній критичний поріг до двосторонньої гіпотези (чи навпаки) — межа значущості «з'їжджає».

🎯 Що завчити напамʼять

• Правило рішення: p ≤ α → відхиляємо H₀; p > α → не відхиляємо.

• Помилка I роду ↔ α; помилка II роду ↔ β; потужність = 1 − β.

• z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n).

• Критичні z: ≈1,96 (двосторонній α=0,05); ≈1,64 (односторонній α=0,05); ≈2,58 (двосторонній α=0,01).

• H₀ — «рівність/відсутність ефекту», H₁ — «є відмінність».

🧠 Перевір себе

1. Що означає відхилити H₀ при α=0,05?

2. Яка ймовірність помилки I роду?

3. p-value = 0,03, α = 0,01. Що робимо з H₀?

4. Чим двосторонній тест відрізняється від одностороннього?

Відповіді: 1 — результат статистично значущий, доказів проти H₀ достатньо, ризик хибного відхилення 5%; 2 — дорівнює α; 3 — p > α, тож H₀ не відхиляємо; 4 — двосторонній перевіряє «≠» (відхилення в обидва боки), односторонній — лише «>» або лише «<».