Диференціальні рівняння 2-го порядку; класифікація

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють уміння розпізнати тип диференціального рівняння 2-го порядку та застосувати відповідний метод розвʼязання. Ключове поняття — лінійне диференціальне рівняння 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами та його характеристичне рівняння.

📖 Головне

• Диференціальне рівняння 2-го порядку містить другу похідну: F(x, y, y′, y″) = 0. Найвищий порядок похідної = 2.

• Загальний розвʼязок містить ДВІ довільні сталі C₁ і C₂ (бо порядок 2). Для частинного розвʼязку потрібні 2 початкові умови: y(x₀) і y′(x₀).

• Класифікація за лінійністю: лінійне — y, y′, y″ входять у першому степені без добутків; нелінійне — є y², y·y′, sin(y) тощо.

• Класифікація за правою частиною: однорідне (права частина = 0) і неоднорідне (права частина ≠ 0).

• Лінійне однорідне зі сталими коефіцієнтами: a·y″ + b·y′ + c·y = 0. Метод — характеристичне рівняння a·k² + b·k + c = 0.

• Три випадки за дискримінантом D = b² − 4ac:

– D > 0, два різні корені k₁, k₂: y = C₁·e^(k₁x) + C₂·e^(k₂x).

– D = 0, один корінь k: y = (C₁ + C₂·x)·e^(kx).

– D < 0, комплексні корені α ± βi: y = e^(αx)·(C₁·cos(βx) + C₂·sin(βx)).

• Неоднорідне рівняння: загальний розвʼязок = розвʼязок однорідного + одне частинне розвʼязання неоднорідного.

• Частковий випадок: y″ = f(x) розвʼязується подвійним інтегруванням.

🔢 Як це працює на прикладі

Приклад 1: y″ − 5y′ + 6y = 0.

Характеристичне рівняння: k² − 5k + 6 = 0.

D = 25 − 24 = 1 > 0, корені k₁ = 2, k₂ = 3.

Відповідь: y = C₁·e^(2x) + C₂·e^(3x).

Приклад 2: y″ + 4y = 0.

Характеристичне: k² + 4 = 0, k = ±2i, тобто α = 0, β = 2.

Відповідь: y = C₁·cos(2x) + C₂·sin(2x).

⚠️ Типові помилки

• Пишуть лише одну сталу C — для 2-го порядку завжди ДВІ сталі.

• При D = 0 забувають множник x, пишуть y = C₁·e^(kx) + C₂·e^(kx) (це фактично одна стала).

• Плутають випадки: при D < 0 використовують e^(kx) замість синусів/косинусів.

• Неправильно складають характеристичне рівняння: y″→k², y′→k, y→1 (сталу не чіпати).

• Для неоднорідного рівняння забувають додати частинний розвʼязок, лишають тільки однорідну частину.

🎯 Що завчити напамʼять

• Характеристичне рівняння: a·k² + b·k + c = 0.

• D = b² − 4ac і три форми відповіді (різні корені / кратний / комплексні).

• Комплексний випадок: y = e^(αx)·(C₁·cos βx + C₂·sin βx), де корінь α ± βi.

• Порядок рівняння = кількість довільних сталих = кількість потрібних початкових умов.

🧠 Перевір себе

1. Скільки довільних сталих у загальному розвʼязку рівняння 2-го порядку?

2. Розвʼяжи y″ − y = 0.

3. Яка форма відповіді при D = 0 з коренем k?

4. Рівняння y″ + y·y′ = 0 — лінійне чи ні?

Відповіді: 1 — дві (C₁, C₂); 2 — k²−1=0, k=±1, y = C₁·e^x + C₂·e^(−x); 3 — y = (C₁ + C₂·x)·e^(kx); 4 — нелінійне (через добуток y·y′).