Чисельні методи розвʼязання диференціальних рівнянь

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють уміння наближено (чисельно) знаходити розвʼязок звичайного диференціального рівняння першого порядку, коли точну формулу отримати важко або неможливо. Ключове поняття — задача Коші: рівняння y′ = f(x, y) з початковою умовою y(x₀) = y₀. Розвʼязок будують по кроках, рухаючись від відомої точки.

📖 Головне

• Задача Коші: дано y′ = f(x, y) і точку (x₀, y₀). Потрібно знайти значення y у наступних точках x₁, x₂, … з кроком h.

• Крок h — відстань між сусідніми точками по x: xₙ₊₁ = xₙ + h. Менший h → точніше, але більше обчислень.

• Метод Ейлера (найпростіший): yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ). Фактично рух по дотичній (за похідною в поточній точці).

• Геометрично метод Ейлера замінює криву ламаною з відрізків, нахил яких = значенню похідної на початку кроку.

• Похибка методу Ейлера пропорційна h (на кожному кроці ~h²), тому він грубий — це метод першого порядку точності.

• Модифікований (удосконалений) метод Ейлера: спершу роблять «пробний» крок, тоді усереднюють похідну на початку й у кінці кроку. Точніший за звичайний.

• Метод Рунге–Кутти 4-го порядку — найточніший зі шкільних: обчислює 4 допоміжні коефіцієнти k₁..k₄ і бере їх зважене середнє. Похибка ~h⁴.

• Усі ці методи ітераційні (покрокові): кожне нове значення спирається на попереднє.

• У програмуванні це реалізують циклом: на кожній ітерації рахуємо нове y і збільшуємо x на h.

🔢 Як це працює на прикладі

Задача: y′ = x + y, y(0) = 1, крок h = 0,1. Знайти y(0,1) і y(0,2) методом Ейлера.

• Крок 1: x₀=0, y₀=1. f(0,1)=0+1=1. y₁ = 1 + 0,1·1 = 1,1. Тепер x₁=0,1.

• Крок 2: f(0,1; 1,1)=0,1+1,1=1,2. y₂ = 1,1 + 0,1·1,2 = 1,22. Тепер x₂=0,2.

Отже наближено y(0,1)≈1,1, y(0,2)≈1,22. (Точний розвʼязок дає трохи більші значення — видно похибку методу.)

⚠️ Типові помилки

• Підставляють у f(xₙ, yₙ) нове yₙ₊₁ замість поточного yₙ — плутають порядок обчислень.

• Забувають після кроку збільшити x на h, рахують усі кроки з тим самим x.

• Втрачають множник h у формулі: пишуть yₙ₊₁ = yₙ + f(…) без кроку.

• Думають, що менший h завжди безпечний — але дуже малий h збільшує кількість операцій і накопичення похибки округлення.

• Плутають порядок точності: «метод першого порядку» стосується похибки, а не порядку рівняння.

🎯 Що завчити напамʼять

• Формула Ейлера: yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ).

• xₙ₊₁ = xₙ + h.

• Порядок точності: Ейлер — 1-й (похибка ~h), Рунге–Кутта — 4-й (похибка ~h⁴).

• Метод Ейлера = рух по дотичній, заміна кривої ламаною.

• Задача Коші = рівняння + початкова умова.

🧠 Перевір себе

1. Що задає початкова умова y(x₀)=y₀?

2. Запиши формулу методу Ейлера.

3. Для y′=2x, y(0)=0, h=0,5 знайди y(0,5) методом Ейлера.

4. Який метод точніший — Ейлера чи Рунге–Кутти 4-го порядку, і чому?

Відповіді: 1 — стартову точку, від якої будують розвʼязок; 2 — yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ); 3 — y₁ = 0 + 0,5·(2·0) = 0; 4 — Рунге–Кутти, бо його похибка ~h⁴ проти ~h в Ейлера.