Випадкова функція та випадковий процес

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють розуміння того, як описувати явища, що змінюються непередбачувано в часі чи просторі: шум у каналі звʼязку, завантаження сервера, курс, трафік. Ключові поняття — випадкова величина, випадкова функція і випадковий процес. Це фундамент для моделювання й аналізу систем, у яких є невизначеність.

📖 Головне

• Випадкова величина — величина, що в результаті досліду набуває одного зі значень із певною ймовірністю (напр., число на кубику).

• Випадкова функція — функція, значення якої при кожному аргументі є випадковою величиною. Якщо аргумент — час, це випадковий процес X(t).

• Реалізація (траєкторія) — конкретна «записана» крива, яку ми отримали в одному досліді. Процес — це сукупність усіх можливих реалізацій.

• Переріз процесу — фіксуємо момент t, і X(t) стає звичайною випадковою величиною зі своїм розподілом.

• Характеристики процесу:

• математичне сподівання m(t) = M[X(t)] — «середня» траєкторія;

• дисперсія D(t) = M[(X(t) − m(t))²] — міра розкиду навколо середнього;

• кореляційна функція K(t₁, t₂) — звʼязок значень процесу в різні моменти.

• Класифікація за станами й часом:

• дискретні/неперервні стани;

• дискретний/неперервний час.

• Стаціонарний процес — його характеристики не змінюються зі зсувом у часі (m = const, а кореляція залежить лише від різниці t₂ − t₁).

• Марковський процес — майбутнє залежить лише від теперішнього стану, а не від усієї попередньої історії («без памʼяті»).

• Окремий важливий випадок — випадкова послідовність (дискретний час): X₁, X₂, X₃, …

🔢 Як це працює на прикладі

Нехай кількість запитів до сервера за секунду — випадковий процес N(t), t = 1, 2, 3…

• Один день роботи дав реалізацію: 5, 7, 6, 8, 4 запити.

• Переріз у момент t = 2 — це випадкова величина «кількість запитів на 2-й секунді».

• Оцінимо математичне сподівання по реалізації: m ≈ (5+7+6+8+4)/5 = 6 запитів.

• Відхилення від середнього: −1, +1, 0, +2, −2; їх квадрати: 1,1,0,4,4; сума 10.

• Оцінка дисперсії ≈ 10/5 = 2, тож «розкид» близько √2 ≈ 1,4 запиту.

Якщо середнє навантаження приблизно однакове протягом доби — процес можна вважати стаціонарним.

⚠️ Типові помилки

• Плутають реалізацію і сам процес: одна крива — це лише один дослід, а процес — множина всіх можливих траєкторій.

• Вважають X(t) числом, а не випадковою величиною в кожній точці.

• Плутають стаціонарність (незмінність характеристик у часі) з марковістю (відсутність памʼяті) — це різні властивості.

• Думають, що математичне сподівання процесу — завжди стала; m(t) може залежати від t.

• Забувають, що кореляційна функція має два аргументи K(t₁, t₂), а не один.

🎯 Що завчити напамʼять

• m(t) = M[X(t)] — середнє.

• D(t) = M[(X(t) − m(t))²] — розкид.

• Стаціонарність: m = const, K залежить лише від t₂ − t₁.

• Марковість: майбутнє залежить лише від теперішнього.

• Процес = множина реалізацій; переріз = випадкова величина.

🧠 Перевір себе

1. Чим реалізація відрізняється від випадкового процесу?

2. Що таке переріз процесу в момент t?

3. Яка властивість означає «процес без памʼяті»?

4. Що означає стаціонарність процесу?

Відповіді: 1 — реалізація це одна конкретна траєкторія з одного досліду, процес — сукупність усіх можливих реалізацій; 2 — випадкова величина X(t) при фіксованому t зі своїм розподілом; 3 — марковість (майбутнє залежить лише від теперішнього стану); 4 — характеристики (сподівання, дисперсія, кореляція) не змінюються при зсуві в часі.