Множини та операції над ними (обʼєднання, перетин, різниця, булеан, декартів добуток)

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють уміння працювати з множинами: розпізнавати операції, обчислювати результат, визначати потужність (кількість елементів) і застосовувати формули включень-виключень. Ключове поняття — множина як неупорядкований набір різних елементів.

📖 Головне

• Множина — сукупність різних обʼєктів (елементів). Порядок і повтори не враховуються: {1,2,2,3} = {1,2,3} = {3,1,2}.

• Належність: a ∈ A («a належить A»), a ∉ A — не належить.

• Підмножина: A ⊆ B, якщо кожен елемент A є в B. Порожня множина ∅ ⊆ будь-якої множини.

• Потужність |A| — кількість елементів. |∅| = 0.

• Обʼєднання A ∪ B — усі елементи, що є в A АБО в B (спільні беруться один раз).

• Перетин A ∩ B — елементи, що є І в A, І в B одночасно.

• Різниця A \ B — елементи, що є в A, але НЕ в B. Увага: A\B ≠ B\A.

• Симетрична різниця A △ B — елементи, що є рівно в одній множині: (A\B) ∪ (B\A).

• Доповнення Ā — усі елементи універсуму U, яких немає в A.

• Формула включень-виключень: |A∪B| = |A| + |B| − |A∩B|. Для трьох: |A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| − |A∩B| − |A∩C| − |B∩C| + |A∩B∩C|.

• Булеан P(A) (множина-степінь) — множина ВСІХ підмножин A, включно з ∅ і самою A. Якщо |A| = n, то |P(A)| = 2^n.

• Декартів добуток A × B — множина всіх упорядкованих пар (a,b), де a∈A, b∈B. Тут порядок важливий: (1,2) ≠ (2,1).

• Потужність добутку: |A × B| = |A| · |B|.

🔢 Як це працює на прикладі

Нехай A = {1,2,3}, B = {3,4}.

• A ∪ B = {1,2,3,4}

• A ∩ B = {3}

• A \ B = {1,2}, а B \ A = {4}

• A △ B = {1,2,4}

• |A ∪ B| перевірка: 3 + 2 − 1 = 4 ✓

• Булеан A: |A|=3 → 2³ = 8 підмножин: ∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}.

• A × B: |A|·|B| = 3·2 = 6 пар: (1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4).

Задача: у класі 30 учнів, 18 вивчають англійську, 12 — німецьку, 5 — обидві. Скільки не вивчають жодної?

Тих, хто вивчає хоч одну: 18 + 12 − 5 = 25. Жодної: 30 − 25 = 5.

⚠️ Типові помилки

• Плутають ∪ і ∩: обʼєднання — це «хоча б в одній», перетин — «в обох». Знак ∪ ширший за результатом.

• Вважають A\B = B\A — різниця НЕ комутативна.

• У формулі включень забувають додати |A∩B| назад (віднімають двічі спільну частину).

• Плутають елемент і підмножину: {1} ⊆ A, але 1 ∈ A (одноелементна множина не дорівнює елементу).

• У булеані забувають ∅ або саму множину — тоді замість 2^n виходить менше.

• У декартовому добутку рахують як неупорядковані — але (a,b) і (b,a) різні.

🎯 Що завчити напамʼять

• |A∪B| = |A|+|B|−|A∩B|

• |P(A)| = 2^n (булеан)

• |A×B| = |A|·|B|

• ∅ і сама множина завжди входять у булеан

• Різниця і декартів добуток НЕ комутативні; обʼєднання й перетин — комутативні

🧠 Перевір себе

1. Скільки підмножин має множина з 5 елементів?

2. A={a,b}, B={1}. Запиши A × B.

3. Для A={2,4,6}, B={4,6,8} знайди A\B і A△B.

4. У групі 40 осіб: 25 знають Python, 20 — Java, 10 — обидві. Скільки знають хоча б одну?

Відповіді: 1 — 2⁵ = 32; 2 — {(a,1),(b,1)}; 3 — A\B={2}, A△B={2,8}; 4 — 25+20−10 = 35.