Формула повної ймовірності; формула Байєса; схема Бернуллі; закон великих чисел

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють уміння працювати зі складними ймовірнісними моделями: коли подія залежить від кількох взаємовиключних «сценаріїв» (гіпотез), коли треба перерахувати ймовірність гіпотези після отриманого результату, коли дослід повторюють багато разів. Ключові інструменти — формула повної ймовірності, формула Байєса та схема Бернуллі.

📖 Головне

• Гіпотези H₁…Hₙ — це повна група несумісних подій: вони не перетинаються, а їх сума охоплює всі випадки, тобто P(H₁)+…+P(Hₙ)=1.

• Формула повної ймовірності: P(A) = P(H₁)·P(A|H₁) + … + P(Hₙ)·P(A|Hₙ). Тут P(A|Hᵢ) — умовна ймовірність події A за умови, що справдилася гіпотеза Hᵢ. Застосовують, коли результат A можливий за різних початкових умов.

• Формула Байєса: P(Hᵢ|A) = P(Hᵢ)·P(A|Hᵢ) / P(A), де P(A) рахують за формулою повної ймовірності. Вона дає «зворотний» хід: подія A вже сталася — яка тепер ймовірність гіпотези Hᵢ.

• P(Hᵢ) до досліду — апріорна ймовірність, P(Hᵢ|A) після — апостеріорна (уточнена).

• Схема Бернуллі: n незалежних однакових випробувань, у кожному подія настає з однаковою ймовірністю p (неуспіх q=1−p).

• Формула Бернуллі: Pₙ(k) = C(n,k)·pᵏ·q^(n−k), де C(n,k)=n!/(k!·(n−k)!) — число сполучень. Це ймовірність рівно k успіхів у n спробах.

• Найімовірніше число успіхів k₀ лежить у межах np−q ≤ k₀ ≤ np+p.

• Закон великих чисел: при зростанні числа дослідів частка успіхів k/n наближається до ймовірності p. Тобто частота стабілізується біля теоретичної ймовірності.

🔢 Як це працює на прикладі

Задача (Байєс). Деталі роблять два верстати: перший дає 60% деталей, другий — 40%. Брак: у першого 2%, у другого 5%. Знайшли браковану деталь — яка ймовірність, що з першого?

• Гіпотези: H₁ (перший, P=0,6), H₂ (другий, P=0,4). Подія A — брак.

• P(A)=0,6·0,02 + 0,4·0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032.

• P(H₁|A) = 0,012 / 0,032 = 0,375.

Задача (Бернуллі). Монету кидають 5 разів, p(герб)=0,5. Ймовірність рівно 2 гербів?

• P₅(2) = C(5,2)·0,5²·0,5³ = 10·0,03125 = 0,3125.

⚠️ Типові помилки

• Плутають формулу повної ймовірності й Байєса: перша дає P(A), друга — P(Hᵢ|A). Байєс без попереднього обчислення P(A) не працює.

• Забувають перевірити, що гіпотези утворюють повну групу (сума P(Hᵢ) має бути 1).

• У схемі Бернуллі помилково підносять p у степінь n замість k, а q — у (n−k).

• Неправильно рахують C(n,k) або ігнорують його (без сполучень відповідь завжди занижена).

• Застосовують схему Бернуллі там, де випробування НЕ незалежні або p змінюється.

🎯 Що завчити напамʼять

• P(A)=Σ P(Hᵢ)·P(A|Hᵢ)

• P(Hᵢ|A)=P(Hᵢ)·P(A|Hᵢ)/P(A)

• Pₙ(k)=C(n,k)·pᵏ·q^(n−k), q=1−p

• C(n,k)=n!/(k!·(n−k)!)

• Умова схеми Бернуллі: незалежні спроби + стала p

• Суть закону великих чисел: частота → ймовірність при великому n

🧠 Перевір себе

1. Коли застосовують формулу Байєса, а коли повної ймовірності?

2. Чому в задачі про верстати P(A)=0,032, а не 0,07?

3. Запишіть ймовірність 3 успіхів у 4 спробах при p=0,5.

4. Що стверджує закон великих чисел?

Відповіді: 1 — повної ймовірності: знайти P(A) з кількох гіпотез; Байєса: уточнити P(гіпотези) після того, як A сталася. 2 — бо кожну умовну ймовірність множать на вагу гіпотези (0,6 і 0,4), а не просто додають. 3 — C(4,3)·0,5³·0,5¹ = 4·0,0625 = 0,25. 4 — при великому числі дослідів частка успіхів k/n наближається до ймовірності p.