Числові та степеневі ряди; збіжність

📌 Про що ця тема

Тут перевіряють, чи вмієш ти працювати з нескінченними сумами. Ключове поняття — ЗБІЖНІСТЬ ряду: чи наближається сума його членів до скінченного числа, чи «розбігається» в нескінченність. Треба знати ознаки збіжності та вміти знаходити область збіжності степеневого ряду.

📖 Головне

• Числовий ряд — це нескінченна сума a₁ + a₂ + a₃ + … = Σaₙ. Члени aₙ задаються формулою загального члена.

• Часткова сума Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ. Ряд ЗБІЖНИЙ, якщо існує скінченна границя lim Sₙ = S при n→∞. Інакше — РОЗБІЖНИЙ.

• Необхідна ознака: якщо ряд збігається, то lim aₙ = 0. УВАГА: це лише необхідна умова. Якщо lim aₙ ≠ 0 — ряд точно розбіжний. Якщо = 0 — ще нічого не відомо.

• Геометричний ряд Σq^n збігається тоді й лише тоді, коли |q| < 1, і його сума S = a₁/(1−q).

• Гармонічний ряд Σ1/n РОЗБІЖНИЙ, хоча 1/n → 0 (класичний контрприклад до необхідної ознаки).

• Узагальнений ряд Σ1/n^p (ряд Діріхле): збігається при p > 1, розбігається при p ≤ 1.

• Ознака Даламбера: обчислюють L = lim |aₙ₊₁/aₙ|. Якщо L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 — невизначено.

• Радикальна ознака Коші: L = lim ⁿ√|aₙ|. Висновки ті самі (L<1 збіжн., L>1 розбіжн.).

• Знакопочережний ряд Σ(−1)ⁿbₙ (ознака Лейбніца): збігається, якщо bₙ монотонно спадають і bₙ → 0.

• Степеневий ряд: Σcₙ·x^n (або по (x−x₀)). Збігається в інтервалі |x| < R, де R — радіус збіжності.

• Радіус збіжності: R = lim |cₙ/cₙ₊₁|. На кінцях (x = ±R) збіжність перевіряють окремо.

🔢 Як це працює на прикладі

Дослідити ряд Σ n/2^n.

За Даламбером: aₙ = n/2^n, aₙ₊₁ = (n+1)/2^(n+1).

L = lim [(n+1)/2^(n+1)] · [2^n/n] = lim (n+1)/(2n) = 1/2.

Оскільки L = 1/2 < 1 → ряд ЗБІГАЄТЬСЯ.

Приклад 2. Знайти радіус збіжності Σ x^n/n.

cₙ = 1/n. R = lim |cₙ/cₙ₊₁| = lim (n+1)/n = 1. Отже збігається при |x| < 1.

⚠️ Типові помилки

• Думають, що з lim aₙ = 0 випливає збіжність. Ні! Гармонічний ряд це спростовує.

• Плутають умови |q| < 1 для геометричного ряду та p > 1 для ряду Діріхле.

• При L = 1 у Даламбера роблять висновок про розбіжність — насправді ознака не працює, треба інший метод.

• Забувають перевірити кінці інтервалу збіжності степеневого ряду.

• Неправильно скорочують дроби aₙ₊₁/aₙ (помилки зі степенями та факторіалами).

🎯 Що завчити напамʼять

• Необхідна ознака: збіжність ⇒ lim aₙ = 0 (не навпаки).

• Геометричний: |q| < 1, сума a₁/(1−q).

• Σ1/n^p: збіжний при p > 1.

• Даламбер і Коші: L < 1 збігається, L > 1 розбігається, L = 1 невизначено.

• Лейбніц: монотонно спадає + → 0.

• R = lim |cₙ/cₙ₊₁|.

🧠 Перевір себе

1. Чи збігається Σ1/n²?

2. Яка умова збіжності геометричного ряду?

3. Ряд Σ(−1)^n · (1/n) — збіжний чи ні?

4. Що дає ознака Даламбера при L = 1?

Відповіді: 1 — так (p=2>1); 2 — |q|<1; 3 — збіжний за Лейбніцем (1/n спадає до 0); 4 — нічого, ознака не працює, потрібен інший метод.